Lema 6.10

Enunciado

Sea $X$ un espacio topológico y sean $σ_{1}$ y $σ_{2}$ arcos homotópicos en $X$ (puede que no sean por caminos). Entonces existen arcos $τ_{1}$ uniendo $σ_{1} (0)$ con $σ_{2} (0)$ y $τ_{2}$ uniendo $σ_{1} (1)$ con $σ_{2} (1)$ tales que:

σ_{2} ≃_{p} {\bar{τ}}_{1} * σ_{1} * τ_{2}

Si $H : I \times I \to X$ es la homotopía que relaciona $σ_{1}$ con $σ_{2}$ , entonces:

τ_{1} (t) = H (0, t), τ_{2} (t) = H (1, t), t \in I

Además, si $σ_{i}$ es un lazo basado en $x_{i} \in X$ para $i = 1, 2$ , entonces pueden elegirse $τ_{2} = τ_{1}$ .
$lema 6.10.png$